数独で世界で最も難しいと言われた問題に挑戦
2016年９月１日
2016年８月の夏休み、小学生の孫たちと数独を楽しみました。
ネット情報から、数独で世界で最も難しい問題の１つを知りました。
それはフィンランドの数学者 Dr. Arto Inkala氏により2010年に発表されたものです。
そのような問題があるのを知ったので、せっかくだからチャレンジしてみたくなりました。
まず、その問題を紹介します。
とにかく、候補の数字を書き込んでみました。
１つのマスに５つ以上書き込むと見づらくなるので、
最初は候補の数字が４つ以下のマスを表示します。
数字が確定していく過程で、必要な場合は空白のマスにも追加表示していきます。
その作業中に、上段中央と中段中央のブロックに「５」と「３」をそれぞれ確定できました。
候補の数字を２つ持つマスが３つあることがわかりました。
それらは『67』『59』『14』で緑色のマスで示されます。
赤の『67』は緑の『67』の対になっています。
そこで、８通りのケースを考えて、８つの問題を解くことにしました。
ケース１；『６、５、１』の組み合わせ
ケース２；『６、５、４』の組み合わせ
ケース３；『６、９、１』の組み合わせ
ケース４；『６、９、４』の組み合わせ
ケース５；『７、５、１』の組み合わせ
ケース６；『７、５、４』の組み合わせ
ケース７；『７、９、１』の組み合わせ
ケース８；『７、９、４』の組み合わせ
『67』『59』『14』の組み合わせから成る８つの問題を示します。
『67』『59』『14』の組み合わせから成る８つの問題
これらの８つの問題を解けば、その中のどこかに答えが見出せるはずです。
今回は「確かに答えが１つであるか」をチェックするためにも
８つすべての問題にチャレンジすることにしました。
以下に、チャレンジの経過を紹介します。
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ケース１；『６、５、１』の組み合わせ
８つのケースいずれにおいても、
準備段階としてまず確定できる数字をできるだけ多く記入します。
その後 候補の数字を（小さく）書き入れていきます。
本格的な作業の開始です。
行き詰まると、二者択一作業をして、さらに進みます。
図１-3 で、中段左のブロックの黄色のマスの『29』に着目します。
図１-4 は、黄色のマスの『２』の場合を試しましたが、
上段のブロックの赤のマスで矛盾を生じています。
赤マス『16』の場合、そのブロックに「1」があり、その行に「6」があるからです。
赤マス『469』の場合は、その縦列に「4」と「6」があり、その行に「9」があるからです。
このようにして、一つ一つ確認作業を続けます。
図１-５ で、中段左のブロックの黄色のマスの『９』の場合を試しましたが、
図１-５では黄色の２つのマスに『９、２』が入る場合で、
図１-6 では黄色の２つのマスに『９、８』が入る場合です。
いずれの図でも、赤のマスで矛盾を生じています。
ケース１において、３つのすべての場合に矛盾を見出しました。
以上より、「ケース１；『６、５、１』の組み合わせ」では、
矛盾なき数字記入はできませんでした。
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以下、同様に進めていきます。
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ケース２；『６、５、４』の組み合わせ
図２- 2 で、確定できる数字を記入します。
図２-3 で、候補の数字を記入します。
中段左のブロックの黄色のマスの『29』に着目します。
図２-4 は、黄色のマスが『２』と『８』の場合ですが、
数字確定作業がストップしましたので、ここで
中段右のブロックにある黄色の『19』マスに着目します。
図２-5 で、中段右のブロックにある黄色の『19』マスを「１」として進めました。
上段中央のブロックの赤マス『68』に数字が入れません。
図２-6 では、中段右のブロックにある黄色の『19』マスを「９」として進めました。
下段のブロックの赤マスにおいて、同じく数字が入れません。
図２-4 の 黄色のマスが『２』と『８』の場合は、矛盾を生じました。
以下、残る可能性の『2,9,8』『9,2,8』『9,8,2』を調べます。
図２-7、図２-8、図２-9 の赤のマスでそれぞれ矛盾を生じています。
以上より、「ケース２；『６、５、４』の組み合わせ」では、
矛盾なき数字記入はできませんでした。
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ケース３；『６、９、１』の組み合わせ
図３-2 で、中段左のブロックの黄色のマスの『25』に着目しますが、
図３-3 に示すように、黄色のマスには自動的に『５』が入ります。
そして、第６行の３つの赤のマスいずれにも『５』が入れず、矛盾を生じています。
以上より、「ケース３；『６、９、１』の組み合わせ」では、
矛盾なき数字記入はできませんでした。
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ケース４；『６、９、４』の組み合わせ
図４-2 で、中段左のブロックの黄色のマスの『25』に着目しますが、
図４-3 に示すように、「ケース３」と同様に、黄色のマスには『５』が入ります。
同じく、第６行の３つの赤のマスいずれにも『５』が入れず、矛盾を生じています。
以上より、ケース４「『６、９、４』の組み合わせ」でも、
矛盾なき数字記入はできませんでした。
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ケース５；『７、５、１』の組み合わせ
図５-2 で、確定できる数字を記入します。
図５-3で、候補の数字を記入し、中段左のブロックの黄色のマスの『29』に着目します。
図５-4 では、中段左のブロックで、黄色のマスに『２』と『８』を設定し進めます。
第１行の赤のマスで、『69』『６』『69』が並び、矛盾を生じています。
次に、図５-５では、中段左のブロックに黄色のマスに『２』と『９』を設定し進めます。
数字確定作業が止まったので、中段中央のブロックの黄色のマス『49』に着目します。
図５-６ は中段中央のブロックの黄色マスが『４』の場合です。
矛盾なくすべての数字が入りました。
図５-７ は、中段中央のブロックの黄色マスが『９』の場合です。
下段右のブロックの赤のマスに入る数がなく、矛盾を生じています。
以上で、中段左のブロックの黄色のマスの『２』と『８』、『２』と『９』の場合が終了しました。
さらに、ケース５の残された可能性を調べます。
さらに、中段左のブロックの黄色のマスの『９』と『２』、『９』と『８』の場合を調べます。
図５-８で、『９』と『２』の作業が止まったので、中段中央のブロックの
黄色のマス『69』に着目します。その「６」の場合を図５-９に、
その「９」の場合を図５-10 に示します。
図５-11 に中段左のブロックの黄色のマスの『９』と『８』の場合を示します。
図５-9、図５-10、図５-11 いずれも赤のマスに数字が入りません。
しかし、ケース５；『７、５、１』の組み合わせの中で、
「図５−５」に矛盾のない解を得ることができました。
解を得ましたが、確認作業は最後まで進めます。
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ケース６；『７、５、４』の組み合わせ
図６- 2 で、確定できる数字「５」「７」を記入します。
図６-3 で、候補の数字を記入します。
中段左のブロックの黄色のマスの『29』に着目します。
次に、図６-４では、中段左のブロックに黄色のマスに『２』と『８』を設定し進めます。
数字確定作業が止まったので、同図の下段左のブロックの黄色のマス『23』に着目します。
図６-５ は下段左のブロックの黄色マスが『２』の場合です。
図６-６ は下段左のブロックの黄色マスが『３』の場合です。
いずれも、下段のブロックの赤のマスに入る数がなく、矛盾を生じています。
さらに、図６-７では、中段左のブロックの黄色のマスに『２』と『９』を設定し進めます。
数字確定作業が止まったので、同図の中段中央のブロックの黄色のマス『49』に着目します。
図６-８ は中段中央のブロックの黄色マスが『４』の場合です。
図６-６ は中段中央のブロックの黄色マスが『９』の場合です。
いずれも、それぞれ、赤のマスに入る数がなく、矛盾を生じています。
さらに、中段左のブロックの黄色のマスに『９』と『２』を設定し進めます。
数字確定作業が止まったので、中段中央のブロックの黄色のマス『69』に着目します。
図６-10 は中段中央のブロックの黄色マスが『６』の場合です。
図６-11 は中段中央のブロックの黄色マスが『９』の場合です。
いずれも、それぞれ、赤のマスに入る数がなく、矛盾を生じています。
最後に、図６-12 に示すように、中段左のブロックの黄色のマスに『９』と『８』を設定し進めます。
上段右のブロックの赤のマスに入る数がなく、矛盾を生じています。
以上、ケース６「『７、５、４』の組み合わせ」にも矛盾なき数字記入はできませんでした。
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ケース７；『７、９、１』の組み合わせ
図７- 2 で、確定できる数字を記入します。
この場合、中段左のブロックの第１列第５行目のマスに「５」が入ります。
図７-3 で、候補の数字を記入します。
中段左のブロックの黄色のマスの『28』を「２」として進めます。
中段中央のブロックの黄色のマス『49』に着目します。
図７-４ は中段中央のブロックの黄色のマス『49』が「４」の場合です。
図７-５ は中段中央のブロックの黄色マス『49』が「９」の場合です。
いずれも、それぞれ、赤のマスに入る数がなく、矛盾を生じています。
最後に、中段左のブロックの黄色のマスの『28』を「８」として進めます。
赤のマスに入る数がなく、やはり、矛盾を生じています。
以上より、ケース７「『７、９、１』の組み合わせ」でも、矛盾なき数字記入はできませんでした。
いよいよ最後の組み合わせになります。
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ケース８；『７、９、４』の組み合わせ
図８- 2 で、確定できる数字を記入します。
この場合も、中段左のブロックの第１列第５行目のマスに「５」が入ります。
図８-3 で、中段左のブロックの黄色マス『28』に着目します。
図８-４ は中段左のブロックの黄色のマス『28』が「２」の場合です。
図８-５ は中段左のブロックの黄色マス『28』が「8」の場合です。
いずれも、候補の数字を入れるまでもなく、数字が確定していきました。
しかし、いずれも赤のマスで矛盾を生じています。
以上より、ケース８「『７、９、１』の組み合わせ」でも、矛盾なき数字記入はできませんでした。
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総括
今回、「世界で最も難しい問題」へのアプローチとして、８通りの問題に分けて考えましたが、
枝葉の全てを数えますと総計28問の問題を調べたことになります。
熟練された方が行えば、もっと少ない総計数になることでしょう。
いずれにしても、このことが難問と言われる所以でありましょう。
一般的に言えば、「難しい問題」の意味としては、一部の名人だけがすらすらと解ける問題、
あるいは、名人でなくとも時間をかけて辛抱強く作業をすれば解ける問題などあるように思えます。
最初の数字の配置のデザインが面白い問題、隠された秘密のルールを探すのが楽しい問題
仲間同士で解くスピードを競う問題、子供と楽しめる問題などいろいろありそうです。
解く過程で感動を伴う人間向きの数独もあれば、コンピュータに任せたい数独もあり、
初心者から熟練者までそれぞれに楽しむことができるゲームだと思います。
もうじき古希になる爺さんにしてみたら、孫と会話を楽しめる数独（ナンプレ）こそが
楽しい数独かも知れません。
